Løs en andengradsligning online
Andengradsligning beregneren løser ligninger på formen ax² + bx + c = 0. Indtast koefficienterne a, b og c, og få vist løsningerne, diskriminanten, toppunktet, symmetriaksen og den faktoriserede form, når der findes reelle rødder. En tabel med punkter omkring toppunktet hjælper desuden med at skitsere den tilhørende parabel.
Standardeksemplet er x² − 5x + 6 = 0. Her er a = 1, b = −5 og c = 6. Diskriminanten er 1, så ligningen har to reelle løsninger: x = 2 og x = 3.
Sådan bruger du andengradsligning beregneren
- Omskriv ligningen, så højre side er 0.
- Find tallet foran x² og skriv det som a.
- Find tallet foran x og skriv det som b.
- Skriv konstantleddet som c.
- Tryk på beregn, og se løsninger og mellemregninger.
Husk fortegnene. I 2x² − 7x − 4 = 0 er a = 2, b = −7 og c = −4. Mangler et led, er koefficienten 0. I x² − 9 = 0 er b derfor 0. Koefficienten a må derimod ikke være 0, for så er ligningen ikke af anden grad.
Formlen for en andengradsligning
Først beregnes diskriminanten med D = b² − 4ac. Derefter bruges løsningsformlen x = (−b ± √D) / (2a). Tegnet ± betyder, at der både skal regnes med plus og minus, når D er positiv.
| Diskriminant | Reelle løsninger | Betydning |
|---|---|---|
| D > 0 | 2 | Parablen skærer x-aksen to steder |
| D = 0 | 1 | Parablen rører x-aksen i toppunktet |
| D < 0 | 0 | Parablen skærer ikke x-aksen |
Hvis D er negativ, findes der ingen reelle løsninger. Beregneren viser i stedet de to komplekse løsninger med den imaginære enhed i.
Eksempel: x² − 5x + 6 = 0
Her er a = 1, b = −5 og c = 6. Diskriminanten bliver D = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1. Da D er større end 0, er der to løsninger.
De beregnes som x₁ = (5 − √1) / 2 = 2 og x₂ = (5 + √1) / 2 = 3. Derfor kan polynomiet faktoriseres som (x − 2)(x − 3). Ganges parenteserne ud, får man igen x² − 5x + 6.
| Trin | Beregning | Resultat |
|---|---|---|
| Koefficienter | a = 1, b = −5, c = 6 | x² − 5x + 6 |
| Diskriminant | (−5)² − 4 × 1 × 6 | 1 |
| Første løsning | (5 − 1) / 2 | x₁ = 2 |
| Anden løsning | (5 + 1) / 2 | x₂ = 3 |
| Faktorisering | (x − 2)(x − 3) | x² − 5x + 6 |
Toppunkt, symmetriakse og parabel
Grafen for f(x) = ax² + bx + c er en parabel. Toppunktets x-koordinat er −b/(2a). Y-koordinaten findes ved at indsætte denne x-værdi i funktionen. For standardeksemplet er toppunktet (2,5; −0,25), og symmetriaksen er x = 2,5.
Når a er positiv, åbner parablen opad, og toppunktet er et minimum. Når a er negativ, åbner den nedad, og toppunktet er et maksimum. Beregneren viser fem punkter omkring toppunktet, så du kan overføre dem til et koordinatsystem og tegne en skitse.
Når diskriminanten er 0
Ligningen x² − 4x + 4 = 0 har diskriminanten 16 − 16 = 0. Der er én reel løsning, x = 2. Den kaldes en dobbeltrod, fordi den faktoriserede form er (x − 2)². Parablen rører x-aksen i punktet (2, 0), men krydser den ikke.
En diskriminant meget tæt på 0 behandles som 0 for at undgå, at almindelig flydende talpræcision skaber to kunstigt forskellige rødder.
Når der ikke er reelle løsninger
For x² + 2x + 5 = 0 er diskriminanten 4 − 20 = −16. Der findes ingen reelle x-værdier, som gør udtrykket lig 0. De komplekse løsninger er −1 − 2i og −1 + 2i.
I mange skoleopgaver stopper man ved konklusionen “ingen reelle løsninger”. Beregneren viser de komplekse løsninger som ekstra information, men angiver samtidig antal reelle løsninger som 0.
Kontrollér løsningerne
En løsning kan kontrolleres ved at indsætte den i den oprindelige ligning. For x = 2 i x² − 5x + 6 får man 2² − 5 × 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0. For x = 3 får man 9 − 15 + 6 = 0. Begge løsninger er dermed kontrolleret.
Skal du beregne selve kvadratroden i løsningsformlen, kan du bruge kvadratrod beregneren. Til andre matematiske udtryk er den videnskabelige lommeregner nyttig. Se hele samlingen under matematikberegnere.
Ofte stillede spørgsmål om andengradsligninger
Hvad er en andengradsligning?
Det er en ligning, der kan skrives som ax² + bx + c = 0, hvor a ikke er 0.
Hvordan beregnes diskriminanten?
Diskriminanten beregnes med D = b² − 4ac. Husk parenteser, hvis b er negativ.
Hvornår har en andengradsligning to løsninger?
Den har to forskellige reelle løsninger, når diskriminanten er større end 0.
Hvad betyder D = 0?
Det betyder, at ligningen har én reel dobbeltrod, og at parablen rører x-aksen i toppunktet.
Hvad sker der, hvis a er 0?
Så forsvinder x²-leddet, og ligningen er lineær. Derfor accepterer beregneren ikke a = 0.
Hvordan finder man toppunktet?
Først findes x-koordinaten som −b/(2a). Derefter indsættes x-værdien i f(x) for at finde y-koordinaten.
Find flere beregninger
Brug find den rette lommeregner på forsiden, når du vil vælge et andet værktøj eller kontrollere en ny type beregning.
Du kan også læse Løs en andengradsligning med koefficienter.
Kilder og afgrænsning
Løsningsformlen gælder for ligninger på formen ax² + bx + c = 0, hvor a ikke er 0; se den faglige gennemgang hos OpenStax Algebra. Beregnerens decimalvisning er et numerisk hjælpemiddel og erstatter ikke symbolsk omskrivning, bevisførelse eller en fuld CAS-kontrol.
Brug kvadratrod-beregneren til at kontrollere roddelen i en mellemregning.