Sandsynlighedsberegner – beregn chance og binomialfordeling

Beregn sandsynlighed online

Denne sandsynlighedsberegner hjælper med tre almindelige typer opgaver. Du kan beregne chancen for et enkelt udfald, sandsynligheden for gentagne uafhængige hændelser eller en binomialfordeling med et bestemt antal succeser. Resultatet vises som procent og decimaltal sammen med den anvendte formel og en tabel over relevante udfald.

Ved binomialfordeling kan du vælge mellem præcis, højst, mindst eller et interval af succeser. Sandsynlighedsberegneren viser også det forventede antal succeser, varians og standardafvigelse. Dermed kan værktøjet bruges både til hurtige hverdagsopgaver og til undervisning i sandsynlighedsregning og statistik.

Sådan bruger du sandsynlighedsberegneren

1. Vælg en enkelt hændelse, binomialfordeling eller gentagne hændelser.
2. Indtast de værdier, der vises til den valgte beregningstype.
3. Ved flere forsøg angiver du sandsynligheden pr. forsøg som procent.
4. Tryk på beregn, og kontrollér både resultat, formel og forudsætninger.

Felterne skifter efter dit valg, så du kun ser de relevante oplysninger. Ved binomialfordeling er n antal forsøg, p sandsynligheden for succes i hvert forsøg, og k det antal succeser, du vil undersøge. En succes betyder blot det udfald, du tæller; ordet siger ikke, om udfaldet er godt eller dårligt.

Tre måder at beregne sandsynlighed

Den rigtige model er vigtigere end selve regnearbejdet. Hvis udfaldene ikke er lige sandsynlige, kan antallet af gunstige udfald ikke bare divideres med antallet af mulige. Hvis forsøg påvirker hinanden, er hverken den enkle gentagelsesregel eller binomialfordelingen automatisk gyldig.

Sandsynlighed for en enkelt hændelse

Når alle mulige udfald er lige sandsynlige, er formlen P(A) = gunstige udfald / mulige udfald. Ved et kast med en fair sekssidet terning er der ét gunstigt udfald, hvis målet er en sekser, og seks mulige udfald i alt. Sandsynligheden er derfor 1/6 = 0,1667 = 16,67 %.

Hvis målet i stedet er et lige tal, er de gunstige udfald 2, 4 og 6. Der er tre gunstige ud af seks mulige udfald, så sandsynligheden er 3/6 = 1/2 = 50 %. Sandsynlighedsberegneren forkorter brøken og viser også den komplementære sandsynlighed, altså chancen for at hændelsen ikke sker.

En sandsynlighed ligger altid mellem 0 og 1, svarende til mellem 0 og 100 procent. Nul betyder umulig i modellen, mens 1 eller 100 procent betyder sikker. Den sproglige og statistiske betydning af sandsynlighed handler netop om graden af mulighed for, at en bestemt begivenhed indtræffer.

Binomialfordeling: præcis, højst, mindst eller mellem

Binomialfordelingen beskriver antallet af succeser i et fast antal ens og uafhængige forsøg. Hvert forsøg har to kategorier, succes og ikke-succes, og sandsynligheden p er den samme hver gang. Ifølge Lex’ forklaring af binomialfordeling er det netop rækken af identiske uafhængige forsøg med to mulige udfald, der kendetegner modellen.

Punktsandsynligheden for præcis k succeser er P(X = k) = C(n,k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Binomialkoefficienten C(n,k) tæller, hvor mange forskellige placeringer de k succeser kan have blandt de n forsøg. Potenserne beregner sandsynligheden for hver sådan række af succeser og ikke-succeser.

Ved “højst k” summeres punktsandsynlighederne fra 0 til k. Ved “mindst k” summeres fra k til n. Ved “mellem” summeres fra den nedre til og med den øvre grænse. Ordene gør derfor en stor forskel: præcis 5 er kun ét udfald for den stokastiske variabel, mens mindst 5 også omfatter 6, 7 og alle højere antal.

Eksempel med 10 møntkast

Antag en fair mønt, som kastes 10 gange. Sæt n = 10 og p = 50 %. Sandsynligheden for præcis 5 gange plat er 24,609375 %. Det forventede antal er n · p = 10 · 0,5 = 5, men det betyder ikke, at hvert sæt på 10 kast nødvendigvis giver præcis 5 gange plat.

De to resultater for højst og mindst 5 er ens i dette eksempel på grund af fordelingens symmetri omkring 5. Det er ikke en generel regel. Hvis p eksempelvis er 20 procent, ligger fordelingen skævt i forhold til midten af intervallet fra 0 til n.

Mindst én, ingen eller succes hver gang

Ved gentagne uafhængige hændelser kan mindst én succes ofte beregnes lettest med komplementreglen. Sandsynligheden for ingen succeser er (1 − p)ⁿ. Derfor er sandsynligheden for mindst én succes 1 − (1 − p)ⁿ. Sandsynligheden for succes i alle forsøg er pⁿ.

Vil du eksempelvis finde chancen for mindst én sekser i fire kast med en fair terning, er p = 1/6 og n = 4. Chancen for ingen seksere er (5/6)⁴ ≈ 48,23 %. Chancen for mindst én sekser er derfor cirka 51,77 %. Man skal ikke gange 4 med 1/6 og kalde 66,67 procent for sandsynligheden; det tal er et forventet antal og kan ikke bruges som sandsynlighed på den måde.

Reglen kræver uafhængighed. Korttræk uden tilbagelægning er et klassisk modeksempel, fordi sandsynligheden ændrer sig efter hvert træk. Her skal man i stedet tage højde for den nye sammensætning af kortene efter hvert udfald.

Forventet værdi, varians og standardafvigelse

For en binomialfordeling er middelværdien eller det forventede antal succeser μ = n · p. Variansen er n · p · (1 − p), og standardafvigelsen er kvadratroden af variansen. Tallene beskriver fordelingens centrum og spredning, men de ændrer ikke den konkrete sandsynlighed, du har bedt om.

Hvis n = 100 og p = 30 %, er det forventede antal succeser 30. Variansen er 21, og standardafvigelsen er cirka 4,58. Et observeret resultat behøver ikke være 30; forventningen er et langsigtet gennemsnit over mange gentagelser af hele forsøget.

Skal du beregne spredning direkte fra en liste af observationer, kan du bruge standardafvigelse beregneren. Til almindeligt gennemsnit af indtastede tal findes gennemsnitsberegneren.

Uafhængighed og almindelige fejl

To hændelser er uafhængige, når udfaldet af den ene ikke ændrer sandsynligheden for den anden. Gentagne kast med en fair mønt antages normalt uafhængige. Ved træk fra en pose uden at lægge genstanden tilbage ændres sandsynligheden, og en simpel binomialmodel passer derfor ikke uden yderligere antagelser.

En anden fejl er at blande procent og decimaltal. I formler svarer 25 procent til 0,25. I sandsynlighedsberegneren indtastes p som procent, og værktøjet omregner internt. Det er også vigtigt at skelne mellem “præcis”, “højst” og “mindst”, fordi de summerer forskellige dele af fordelingen.

Odds og sandsynlighed hænger sammen, men er ikke det samme. Decimalodds indeholder ofte en udbydermargin og kan ikke uden videre behandles som en objektiv chance. Skal du omregne odds og se implicit sandsynlighed, kan du bruge oddsberegneren. Flere beslægtede værktøjer findes under matematikberegnere.

Ofte stillede spørgsmål om sandsynlighed