Trekant beregner – beregn sider, vinkler og areal

Beregn alle sider og vinkler i en trekant

Denne trekant beregner finder en trekants manglende sider og vinkler, når du kender nok af målene. Du kan vælge mellem SSS, SAS, ASA og SSA. Resultatet viser alle tre sider, alle tre vinkler, trekantens areal, omkreds og type. Ved den særlige SSA-situation fortæller beregneren også tydeligt, om oplysningerne giver nul, én eller to mulige trekanter.

Navnene følger den almindelige notation: side a ligger over for vinkel A, side b ligger over for vinkel B, og side c ligger over for vinkel C. Det er afgørende at placere målene korrekt. Hvis den kendte vinkel ligger mellem siderne a og b, er den vinkel C, og du skal vælge SAS.

Sådan bruger du trekant beregneren

1. Vælg den kombination af sider og vinkler, du kender: SSS, SAS, ASA eller SSA.
2. Indtast de relevante sidelængder og vinkler. Felter, som ikke hører til den valgte metode, påvirker ikke resultatet.
3. Vælg enheden for siderne. Alle sidelængder skal være angivet i samme enhed.
4. Tryk på beregn for at se sider, vinkler, areal, omkreds og trekanttype.

Vinkler indtastes i grader. Du kan bruge dansk decimalkomma. Beregneren kontrollerer trekantuligheden og vinkelsummen, før den viser resultatet, så en umulig kombination ikke bliver præsenteret som en gyldig trekant.

Vælg mellem SSS, SAS, ASA og SSA

Bogstaverne S og A står for henholdsvis side og angle, altså vinkel. Rækkefølgen beskriver, hvilke mål der er kendte. Valget afgør, hvilken formel trekant beregneren bruger.

Har du en retvinklet trekant og kender to sider, er Pythagoras-beregneren ofte den hurtigste vej til den tredje side. Trekant beregneren er bredere, fordi den også løser ikke-retvinklede trekanter og beregner vinkler.

Eksempel: en trekant med siderne 3, 4 og 5

Vælg SSS og indtast a = 3, b = 4 og c = 5. Beregneren finder vinklerne A ≈ 36,87°, B ≈ 53,13° og C = 90°. Arealet er 6 kvadratenheder, og omkredsen er 12 enheder. Trekanten er derfor både uligesidet og retvinklet.

Eksemplet er nyttigt som kontrol, fordi resultatet også kan findes med Pythagoras og den almindelige arealformel for en retvinklet trekant. Ved andre trekanter anvender værktøjet de generelle sinus- og cosinusrelationer.

Sådan beregnes en trekant med tre kendte sider

Ved SSS kontrolleres først trekantuligheden. Summen af længderne på to vilkårlige sider skal være større end den tredje side. Siderne 2, 3 og 6 kan derfor ikke danne en trekant, fordi 2 + 3 ikke er større end 6.

Når siderne er gyldige, finder cosinusrelationerne vinklerne. For vinkel A bruges cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc). De andre vinkler findes tilsvarende, og vinkelsummen kontrolleres mod 180 grader.

Arealet findes med Herons formel. Først beregnes den halve omkreds s = (a + b + c) / 2. Derefter er arealet √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Metoden kræver ingen kendt højde og er derfor velegnet, når alle tre sider er kendte.

Sinusrelation, cosinusrelation og areal

Cosinusrelationen er en udvidelse af Pythagoras og bruges, når man kender SSS eller SAS. Ved SAS med siderne a og b og den mellemliggende vinkel C findes den tredje side som c² = a² + b² − 2ab cos(C). Når C er 90°, er cos(C) lig 0, og formlen bliver til Pythagoras.

Sinusrelationen siger a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Den bruges især ved ASA og SSA. Ved ASA beregnes først C = 180° − A − B. Derefter kan de ukendte sider findes ud fra den kendte side og forholdet mellem sider og sinus til de modstående vinkler.

Kendes to sider og vinklen mellem dem, kan arealet også beregnes direkte som ½ab sin(C). Resultatet fra denne formel svarer til arealet fra Herons formel, når alle mål er konsistente. Se den generelle arealberegner, hvis du i stedet skal finde arealet af et rektangel.

Hvorfor kan SSA give to trekanter?

SSA er det tvetydige tilfælde. Når side a, side b og vinkel A er kendt, bruges sin(B) = b sin(A) / a. En sinusværdi kan i nogle situationer høre til både en spids vinkel B og supplementvinklen 180° − B. Hvis vinkelsummen stadig bliver under 180 grader i begge tilfælde, findes der to gyldige trekanter.

Med A = 30°, a = 5 og b = 8 opstår to løsninger. Den ene har B omkring 53,13°, og den anden har B omkring 126,87°. Trekanterne har forskellige tredje sider, arealer og omkredse. Beregneren viser begge løsninger i resultattabellen, så den alternative geometri ikke bliver skjult.

Hvis udtrykket b sin(A) / a er større end 1, findes ingen trekant, fordi sinus til en virkelig vinkel ikke kan overstige 1. I grænsetilfældet fås én retvinklet trekant. Ellers kan der være én eller to løsninger afhængigt af vinkelsummen.

Trekantens areal, omkreds og type

Omkredsen er altid summen a + b + c. Arealet angives i den valgte enhed i anden: indtaster du centimeter, bliver arealet vist i cm². Indtaster du meter, bliver det vist i m². Bland derfor ikke centimeter og meter i samme beregning; omregn først alle sider til samme enhed.

En trekant klassificeres efter både sider og vinkler. En ligesidet trekant har tre lige lange sider, en ligebenet trekant har mindst to lige lange sider, og en uligesidet trekant har tre forskellige sider. Efter vinkler kan trekanten være spidsvinklet, retvinklet eller stumpvinklet. Værktøjet viser begge dele, eksempelvis “uligesidet og retvinklet”.

Skal du arbejde specifikt med cirklens mål, kan du bruge vores cirkel beregner. Samlingen af beslægtede værktøjer findes på siden med matematikberegnere.

Kontrol, afrunding og præcision

Beregningen udføres med de fulde numeriske værdier, mens resultaterne afrundes ved visning. Derfor kan summen af de tre viste vinkler i sjældne tilfælde se ud til at afvige en anelse fra 180°, selv om de interne værdier opfylder vinkelsummen. Brug de viste decimaler med passende præcision til din opgave.

En god kontrol er at sammenholde den største side med den største vinkel: den største side skal altid ligge over for den største vinkel. Du kan også kontrollere, at to sider tilsammen er større end den tredje, og at alle vinkler er positive. Lex beskriver de grundlæggende egenskaber ved en trekant og dens vinkelsum.

Ofte stillede spørgsmål om trekantberegning